
Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Полный разбор движения. Вывод формул
Это движение представляет собой совокупность двух видов движения:
- равномерного движения по оси X (горизонтально): скорость v=const, т.к. ускорение a=0
- равнопеременного по оси Y (вертикально): скорость v=v0+at, т.к. ускорение а=-g
Как же найти скорость?
Сначала найдем скорости по X и по Y отдельно.
- Чтобы найти скорость по оси X, которая будет постоянная на всем пути, определим проекцию V0 на ось X:
Проекция V0 на ось Х – это прилежащий к углу α катит:
V0x=V0cosα
Т.к. Vx – постоянна, поэтому:
Vx= V0x=V0cosα
- Чтобы найти скорость по оси Y, которая будет меняться, определим проекцию V0 на ось Y, это будет начальная скорость по вертикальной оси:
Проекция V0 на ось Y – это противолежащий к углу α катит:
V0у=V0sinα
Так как Vy, как мы уже говорили, равнопеременная скорость, то:
Vу= V0у+at
Учитывая, что ускорение направлено против вертикальной оси (а=-g), и подставляя V0y получим:
Vу= V0sinα -gt
Итого:
Зная проекции скорости, можем ли мы восстановить саму скорость? (зная катеты треугольника можем ли мы найти гипотенузу?)
Конечно! Теорема Пифагора.
V2=Vx2+ Vy2
Скорость – дело понятное, как же быть с пройденным путем? Очень просто.
Так как мы сказали, что имеем дело с двумя видами движения в одном, а значит и пути у каждого из видов движения будут разные:
- Горизонтального движение по оси Х равномерное, путь при равномерном движении:
S=V t
Обозначим путь по Х за Х и подставим нашу скорость вместо V, получим:
Х= Vxt= V0cosα t
- Вертикальное движение по оси Y равнопеременное, путь при равнопеременном движении:
Аналогично, обозначим путь по Y за Y, подставим нашу скорость вместо V0 и ускорение а=-g получим:
В итоге:
ВАЖНО! Часто в задачах встречается ситуация, когда нужно найти высоту подъема или дальность полета.
Высота подъема находится очень просто. Все что нужно для решения большинства задач находится в получившихся уравнениях:
- для скорости
- для координат
Верхняя точка отличается тем, что в ней происходит изгиб. Происходит этот изгиб из-за ускорения свободного падения. Полная скорость, т.к. она направлена по касательной, становится направленной горизонтально, а значит проекция полной скорости по Y равна нулю:
Vу= V0sinα –gt=0
Запишем концовку предыдущего уравнения и выразим время — время в этой формуле соответствует той же самой верхней точке, назовем его – время подъема (tп).
V0sinα –g tп =0
Получаем:
Высота подъема – это координата Y, поэтому вставляем tп в уравнение для Y и получаем искомую высоту собственной персоной:
Преобразуем и получим высоту подъема:
Дальность полета – это координата Х в точке падения, поэтому время уже накопится в два раза больше:
Аналогично подставим время в формулу для координаты Х:
Применим формулу из триганометрии: 2sin cos = sin, применим и получим: